Matematik i NA13

Bara ett litet nedslag i matematikens förtrollande värld …

NA13 roar sig just nu med avsnittet ”Kurvor, derivator och integraler” och man undrar ju vad som döljer sig bakom en sådan rubrik.

Lek med tanken att Emå-mejeriet ska tillverka 1 litersförpackningar för sin mjölk. Rimligen ligger det i företagets intresse att minimera materielåtgången till själva förpackningen, så man har följande krav:

  • förpackningen ska rymma 1 liter
  • förpackningen ska kräva så litet material som möjligt

Nå, hur får man ihop dessa två önskemål?

Jo, NA13 vet!

Om vi förenklar Emå-mejeriets förpackningar och ställer samma principfråga – fast i ett enklare fall – kan den formuleras såhär:
Vilken är den största öppna låda som kan tillverkas av ett A4-papper?A4-klippet

Idén är att klippa bort de svarta kvadraterna i hörnen på A4-pappret och därefter vika upp kanterna vid de streckade linjerna … och vips har vi fått en öppen låda med volymen:

V = (210-2x)(297-2x)·x

Nästa åtgärd är att lista ut hur stora kvadrater man ska klippa bort för att volymen ska bli maximal. Denna manöver kallas på matematikspråk att derivera och låta derivatan vara 0.

Vill man ha koll på finliret gör man såhär:

V = (210-2x)(297-2x)·x = 62 370x – 1014 x2 + 4 x3

dV/dx = 62 370 – 2028 x + 12 x2

Om dV/dx = 0 måste x2 – 169 x + 10395/2 = 0

och detta inträffar då x = 169/2 ± ((169/2)2 – 10 395/2)1/2

dvs då x = 40,42 …

Så om vi klipper bort hörn så att den uppvikta kanten blir 40,42 mm hög, blir volymen maximal och volymen är då 1,1284 … liter.

GeoGebra visar matematiken grafiskt:

Matematik i NA13 6

 

Vilken nytta har man av allt detta?

 

För det första är frågan helt fel ställd. Matematik handlar inte om nytta utan om skönhet – för inte frågar vi väl efter vilken nytta vi har av att fåglarna sjunger för oss?

För det andra är frågan högst relevant. Emå-mejeriet vill naturligtvis minimera sin kostnad för förpackningarna – men det är inte säkert de vet hur de ska göra … förrän de anställer NA13:s elever.

 /Berthold